随机过程考试真题

1、设随机过程|X(t)=R.t+q，卜e(0,8)|,C为常数，因服从|

区间上的均匀分布。(1)求|X(t)|的一维机率密度和一维分布函数；(2)求四£

的均值函数、相关函数和协残差函数。2、设加(t),_8

M=一11"——1~~~L636」试对经过长时间后的销售状况进行剖析。5设｛X(t),拦0｝是独立增量过程，且X(0)=0,证明｛X(t),拦0｝是一个马尔科夫过程。6设｛N(t),t>o｝|是硬度为因的泊松过程，｛丫,k=1,2,L｝|是一列独立同分布随机变量，且k与｛N(t),t>0｝|独立，令X(t)=圮Y,t>0，证明：若怛(丫2

RG)=e一/2匕RG)=e一/2匕1、设随机过程X(t)=R-t+C1、设随机过程X(t)=R-t+C(1)求X(t)的一维机率密度和一维分布函数;(2)求X(t)的均值函数、相关函数和协残差函数。【理论基础】(1)F(x)」f(t)dt，则|f(t)|为密度函数;=8f(x-11,八,ab，a+b(b一a)2D(x)=———212E(x)=(3)参数为囚的指数分布，机率密度函数f(x)=0

0,x00,xC+1TOC\o"1-5"\h\z(2)依据相关定义，均值函数m(t)=EX(t)=t+CX2___1C一相关函数R(s,t)=E=st+-(s+1)+C2相关函数X32n，、一，…，、，、、，、r、st协残差函数B(s，t)=E{

X(s)-m(s)

X(t)-m(t)

}=—(当s=t时为残差函数)XXX12【注】D(X)=E(X2)-E2(X)；B(s,t)=R(s,t)-m(s)m(t)1，__XXXX—求机率密度的通解公式f(x)=f(y)|y'(x)|=f(y)/|x,(y)|t2、设加(t),-8

3、设抵达某超市的客户人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即九二1801;且每位客人的消费额是服从参数为目的指数分布。求三天内（8个小时）超市营业额的物理期望与残差。【解答】此题可参见课本习题3.10题。由题意可知，每位客人的消费额Y是服从参数为目的指数分布，由指数分布的性质可知：E(Y)=1E(Y)=1=,D(Y)=—SS2，故E（Y2）=—，则由复合泊松过程的性质可得：三天内商厦营S2业额的物理期望m（8）=8*180义E（Y）；X三天内超市营业额的残差忖X（8）=8*180义E（Y2）。4、设马尔可夫链的转移机率矩阵为：(0.30.70)P=00.20.8、0.700.3)（1）求两步转移机率矩阵中及当初始分布为P{X=1}=1,P{X=2}=P{X=3}=0

000时，经两步转移后处于状态2的机率。（2）求马尔可夫链的平稳分布。【解答】可参考教材例4.3题及4.16题（1）两步转移机率矩阵P(2)=PP="0.30.70、00.20.8、0.700.3,‘0.30.70'00.20.8、0.700.3,=‘0.090.350.56)0.560.040.4

(100:(0.090.350.56)0.560.040.4、0.420.490.09,=(0.090.350.56)故经两步转移后处于状态2的机率为0.35。(2)由于马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下等式组兀=0.3兀+0K+0.7兀TOC\o"1-5"\h\z\o""1123兀=0.7兀+0.2兀+0K

画出状态转移图如下：(1)由上图可知，状态分类为叵={1,2,3};G2={4,5}(2)由上图及常返闭集定义可知，常返闭集有两个，下边分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。A、对回常返闭集而言，解多项式组兀=0.3兀+0.6兀+0KTOC\o"1-5"\h\z1123兀=0.4兀+0.4兀+1兀<2123兀=0.3k+0k+0k3123K+K+K=1I123解上述等式组得平稳分布为=—,K,K=115290\o"1-5"\h\z则各状态的平均返回时间分别为150t150t==,3k37一=t==,23B、对G常返闭集而言，解多项式组K=0.3K+1K112

6、设而7迥是参数为囚的泊松过程，估算怛山()N(+S)

【解答】E

n(t)N(t+s)

=E

N(t)(N(t+s)-N(t)+N(t))一=E

N(t)(N(t+s)-N(t))

+E

N(t)2一=EE

N(t+s)-N(t)

+E

N(t)2=Xt入s+入t+(入t)2=Xt(1+Xt+Xs)7、考虑一个从底层启动上升的扶梯。以同记在回第层步入扶梯的人数。假设回互相独立，且回是均值为匕

的泊松变量。在第0层步入的各个人互相独立地以机率回在第j层离开扶梯,1zpj=i。令o)^=在第j层离开扶梯的人数。j(1)估算E(O)LJ(2)0^的的分布是哪些(3)o与on的联合分布是哪些【解答】此题与本书联系不大随机过程习题集，据有关方面信息，这次考试此题不考。以^^记在第0层乘上扶梯，在第j层离去的人数，则Nj2是均值为X^pij2的泊松变量，且全部N(i>o,j>i)互相独立。因而：ij(1)E=E=ZXp(1)jijiijii(2)⑶因o与o独立、,(2)⑶因o与o独立、,ikP(OO)=P(O)P(O)=+i—e-x•——e-x=e-2Xikiki!k!i!k!由泊松变量的性质知，O=ZN是均值为ZXp的泊松变量jijiijii则,囚为期望。8、一质点在1,2,3点上作随机游动。若在时刻旧质点坐落这三个点之一，则在［［，t+h)|内随机过程习题集，它都以机率|h+o(h)|分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分等式，转移机率P(t)及平稳分布。l_Li【解答】参见教材习题5.2题依题意,.p(At)..;——71依题意,由limjA,~=q(i丰j)得，q=1(i丰j)，柯尔莫哥洛夫往前多项式为A八AtjjAt-0mJ—LP'=—2p(t)+p(t)+p(t)，jji，/-1i,j+1因为状态空间I={1,2,3}，故p(t)+p(t)+p(t)=1ji,jTi,j+1所以p'=-2p(t)+1-p(t)=—3p(t)+1，TOC\o"1-5"\h\zijijijij解上述一阶线性微分等式得：小-111p(t)=ce3+-j3由初始条件确定常数c，得121t一+-e3,i=jp(t)=

故其平稳分布故其平稳分布K=limp(t)=(,j=1,2,3

ij3Jt-81、有随机过程｛m(t),-8

,t+T)=(tot+O)4cos(©(t+,t+T)=E=EA2E

osCot+0)+t)+0)

+①)+T)+①》中-5-K-d—+cos(2wt+3T40k-5-K857()===R(T)205t自-5所以具有平稳性。故均值具有各态历经性。故均值具有各态历经性。.=lim—!—fAcos(3t+O)Acos(3(t+t)+0)乙》-T=lim段fcos(3t+o)cos(3(t+T)+o)dti2T-T故相关函数不具有各态历经性。3、某商店客人的到来服从硬度为4人每小时的过程，已知商店9：00开门，试求:(1)在开门半小时中，无客人到来的几率；(2)若已知开门半小时中无客人到来，这么在未来半小时中，仍无客人到来的几率。3、解：设客人到来过程为｛N(t),t>=0｝，依题意N(t)是参数为九的过程。⑴在开门半小时中，无客人到来的机率为:-4x1=e2=e-2

,在未来半小时仍无客人到来可表,在未来半小时仍无客人到来可表4、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理剖析，其销售状态的变化（从这月到明年）与初始时刻无关，且其状态转移机率为修（/表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的机率），一步转移开率矩阵为：””2131试对经过长时间后的销售状况进行剖析。4、解答：由一步转移机率矩阵可知状态互通，且pii>0，因而所有状态都是遍历状态，于是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为汽二｛汽1，兀2，%｝，求解多项式组：汽』P,汽1+%+%=1即:TOC\o"1-5"\h\z111一兀+—兀+—兀=兀2132631112—兀+-71+—兀=兀1219233251_兀+_兀=792633\o""兀+7+7=1【123得：

896兀=——,兀=——,兀=——123223323I896即极限分布为:兀=〈，，即极限分布为:1232323由估算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能性最小。5、试对以下述矩阵为一步转移机率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解。113一0.700.300

0.10.80.100P=0.400..50.50000.50.5_|7、设虱），-8

卜cosQt+9).skot+0zJ=Eod—d0=0自o02兀,t+T)=Et

(t}(t+T)

=EE(t)cosQt+。上(+T)cosQ(+T)+®)

虱+T)

Elcos(»t+®)cos6(t+t)+0)

00cos(ot+0)cosCo(t+T)+0)-1d02兀=一RQ)自0故为平稳过程e-j3Te--)

2自0-8-8=『e-)ej30T+e-自2-8-3)+S(3+3)

R(T)dT自0&08、已知随机过程m(t)的相关函数为:&G)=e«2，问该随机过程己⑹是否均方连续？是否均方可微?8、解答：廿0时，相关函数是连续的，故随机过程在任意时刻均方连续。RQ)=—2aie-«t2自R"(0)=-2aa因为二阶行列式在工二0存在，故过程是均方可微的。