随机过程考试真题

1、1、设随机过程ctrtx)(，),0(t，c为常数，r服从1,0区间上的均匀分布。（1）求)(tx的一维机率密度和一维分布函数；（2）求)(tx的均值函数、相关函数和协残差函数。2、设ttw),(是参数为2的维纳过程，)4,1(nr是正态分布随机变量；且对任意的t，)(tw与r均独立。令rtwtx)()(，求随机过程ttx),(的均值函数、相关函数和协残差函数。3、设抵达某超市的客户人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180；且每位客人的消费额是服从参数为s的指数分布。求三天内（8个小时）超市营业额的物理期望与残差。4、设马尔可夫链的转移机率矩阵为：3.007.08

2、.02.0007.03.0p（1）求两步转移机率矩阵)2(p及当初始分布为032,1时，经两步转移后处于状态2的机率。（2）求马尔可夫链的平稳分布。5设马尔可夫链的状态空间5,4,3,2,1i，转移机率矩阵为：.03.04.06.0003.04.03.0p求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。6、设(),0ntt是参数为的泊松过程，估算()()entnts。7、考虑一个从底层启动上升的扶梯。以in记在i第层步入扶梯的人数。假设in互相独立，且in是均值为i的泊松变量。在第

3、i层步入的各个人互相独立地以机率ijp在第j层离开扶梯，。令jo在第j层离开扶梯的人数。（1）估算()jeo（2）jo的分布是哪些（3）jo与ko的联合分布是哪些8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t质点坐落这三个点之一，则在),htt内，它都以机率)(hoh分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分等式，转移机率)(tpji及平稳分布。1有随机过程(t)，-t和(t)，-t，设(t)=asin(t+)，(t)=bsin(t+),其中a，b，为实常数，均匀分布于0，2，试求r(s,t)2（15分）随机过程(t)=a

4、cos(t+)，-t+，其中a,,是互相统计独立的随机变量，ea=2,da=4,是在-5,5上均匀分布的随机变量，是在-，上均匀分布的随机变量。试剖析(t)的平稳性和各态历经性。3某商店客人的到来服从硬度为4人每小时的过程，已知商店9：00开门，试求：（1）在开门半小时中，无客人到来的几率；（2）若已知开门半小时中无客人到来，这么在未来半小时中，仍无客人到来的几率。4设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理剖析，其销售状态的变化（从这月到明年）与初始时刻无

5、关，且其状态转移机率为pij（pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的机率），一步转移开率矩阵为：试对经过长时间后的销售状况进行剖析。5设x(t),t0是独立增量过程,且x(0)=0,证明x(t),t0是一个马尔科夫过程。6设n(t),t0是硬度为的泊松过程，ky,k=1,2,是一列独立同分布随机变量，且与n(t),t0独立，令n(t)kk=1x(t)=y,t0，证明：若21e(y)，则1ex(t)tey7.设今天是否有雨仅与明天的天气有关，而与过去的天气无关。又设明天下雪而今天也下雪的机率为，而明天无雨今天有雨的机率为；规定有

6、雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4，求明天有雨且第四天仍有雨的几率。8设tt,是平稳过程，令tttt,cos0，其中0是常数，为均匀分布在0,2上的随机变量，且tt,与互相独立，r()和s()分别是tt,的相关函数与功率谱密度，试证：（1）tt,是平稳过程随机过程习题集，且相关函数：（2）tt,的功率谱密度为：已知随机过程(t)的相关函数为：2er，问该随机过程(t)是否均方连续？是否均方可微？1、设随机过程ctrtx)(，),0(t，c为常数，r服从1,0区间上的均匀分布。（1）求)(tx的一维机率密度和一维分布函数；（2）求)

7、(tx的均值函数、相关函数和协残差函数。【理论基础】（1）)()(，则)(tf为密度函数；（2）)(tx为),(ba上的均匀分布，机率密度函数其他,0,1)(，分布函数,1,0)(，2)(baxe，12)()(2abxd；（3）参数为的指数分布，机率密度函数0,00,)(，分布函数0,00,1)(，1)(xe，21)(xd；（4）2)(,)(xdxe的正态分布，机率密度函数xexfx,21)(222)(，分布函数,21)(222)(，若1,0时，其为标准正态分布。【解答】本题可出席课本习题2

8、.1及2.2题。（1）因r为1,0上的均匀分布，c为常数，故)(tx亦为均匀分布。由r的取值范围可知，)(tx为,tcc上的均匀分布，为此其三维机率密度其他,0,1)(，一维分布函数,1,0)(；（2）依据相关定义，均值函数)()(；相关函数2)(231)()(),(；协残差函数12)()()()(),(（当ts时为残差函数）【注】)()()(；)()(),(),(求机率密度的通解公式|)(|/)(|)(|)

9、()(、设ttw),(是参数为2的维纳过程，)4,1(nr是正态分布随机变量；且对任意的t，)(tw与r均独立。令rtwtx)()(，求随机过程ttx),(的均值函数、相关函数和协残差函数。【解答】此题解法同1题。依题意，|)|,0()(2tntw，)4,1(nr，因而rtwtx)()(服从于正态分布。故：均值函数1)()(；相关函数5)()(),(；协残差函数4)()()()(),(（当ts时为残差函数）3、设抵达某超市的客户人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即1

10、80；且每位客人的消费额是服从参数为s的指数分布。求三天内（8个小时）超市营业额的物理期望与残差。【解答】此题可参见课本习题3.10题。由题意可知，每位客人的消费额y是服从参数为s的指数分布，由指数分布的性质可知：21)(,1)(，故222)(sye，则由复合泊松过程的性质可得：三天内超市营业额的物理期望)(1808)8(yemx；三天内超市营业额的残差)(1808)8(22yex。4、设马尔可夫链的转移机率矩阵为：3.007.08.02.0007.03.0p（1）求两步转移机率矩阵)2(p及当初始分布为032,1时，经两步转移后处于状态2

11、的几率。（2）求马尔可夫链的平稳分布。【解答】可参考教材例4.3题及4.16题（1）两步转移机率矩阵09.049.042.04.004.056.056.035.009.03.007.08.02.0007.03.03.007.08.02.0007.03.0)2(ppp当初始分布为032,1时，56.035.009.009.049.042.04.004.056.056.035.009.0001故经两步转移后处于状态2的机率为0.35。（2）由于马尔可夫链是不可约的非周期有限状态，所以平稳分布存在。得如下等式组13.08.0002.07.07.

12、003.23211解上述等式组得平稳分布为238,237,、设马尔可夫链的状态空间5,4,3,2,1i，转移机率矩阵为：.03.04.06.0003.04.03.0p求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。【解答】此题比较综合，可出席例4.13题和4.16题画出状态转移图如下：（1）由上图可知，状态分类为5,4;3,2,121gg（2）由上图及常返闭集定义可知随机过程习题集，常返闭集有两个，下边分别求其平稳分布及各状态的平均返回时间。a、对1g常返闭集而言，解多项式组1003.014.

13、04.006.03.23211解上述等式组得平稳分布为5037,90259,则各状态的平均返回时间分别为37501,,、对2g常返闭集而言，解多项式组12345107.013.解上述等式组得平稳分布为177,则各状态的平均返回时间分别为7171,、设(),0ntt是参数为的泊松过程，估算()()entnts。【解答】222()()()()()()()()()()()()()()()(1)entntsentn

14、tsntntentntsntentententsnten、考虑一个从底层启动上升的扶梯。以in记在i第层步入扶梯的人数。假设in互相独立，且in是均值为i的泊松变量。在第i层步入的各个人互相独立地以机率ijp在第j层离开扶梯，。令jo在第j层离开扶梯的人数。（1）估算()jeo（2）jo的分布是哪些（3）jo与ko的联合分布是哪些【解答】此题与本书联系不大，据有关方面信息，这次考试此题不考。以ijn记在第i层乘上扶梯，在第j层离去的人数，则ijn是均值为ijip的泊松变量,且全部),0(互相独立。因而：(1)j

15、oenp(2)由泊松变量的性质知，是均值为的泊松变量(3)因ikoo与独立，则2!)()()(ki，为期望。8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t质点坐落这三个点之一，则在),htt内，它都以机率)(hoh分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分等式，转移机率)(tpji及平稳分布。【解答】参见教材习题5.2题依题意，由)()(得，)(，柯尔莫哥洛夫往前多项式为)()()(21,1,，因为状态空间

16、3,2,1i，故1)()()(1,1,，所以1)(3)(1)(，解上述一阶线性微分等式得：31)(，由初始条件,0,1)0(确定常数c，得,3131,3231)(3131故其平稳分布3,2,1,31)(、有随机过程(t)，-t和(t)，-t，设(t)=asin(t+)，(t)=bsin(t+),其中a，b，，为实常数，均匀分布于0，2，试求r(s,t)1.解：1,0220,f其它20201,o

17、s,2rst2、随机过程(t)=acos(t+)，-t=0，依题意n(t)是参数为的过程。（1）在开门半小时中，无客人到来的机率为：nee（2）在开门半小时中无客人到来可表示为102n，在未来半小时仍无客人到来可表示为，因而所求机率为：(1)0|02211(1)0|00221(1)、设某厂的商品的销售状态（按一个月计）可分为三个状态：滞销（用1表示）、正常（用2表示）、畅销（用3表示）。若经过对历史资料的整理剖析，其销售状态的变化（从这月

18、到明年）与初始时刻无关，且其状态转移机率为pij（pij表示从销售状态i经过一个月后转为销售状态j的机率），一步转移开率矩阵为：试对经过长时间后的销售状况进行剖析。4、解答：由一步转移机率矩阵可知状态互通，且pii0，因而所有状态都是遍历状态，于是极限分布就是平稳分布。设平稳分布为=1，2，3，求解多项式组：=p,1+2+3=1即：得：236,239,即极限分布为：236,239,238由估算结果可以看出：经过相当长时间后，正常销售状态的可能性最大，而畅销状态的可能性最小。5、试对

19、以下述矩阵为一步转移机率矩阵的齐次马尔可夫链的状态空间进行分解。（1）5.05.00005.05..004.0001.08.01.0003.007.0p（2）、6、一个服务系统，客人按硬度为的过程抵达，系统内只有一个服务员，但是服务时间服从参数为的负指数分布，假如服务系统内没有客人，则客户抵达就开始服务，否则他就排队。并且，假如系统内有两个客人在排队，他就离开而不返回。令(t)表示服务系统中的客户数量。（1）写出状态空间；（2）求q矩阵7、设tt,是平稳过程，令tttt,cos

20、0，其中0是常数，为均匀分布在0,2上的随机变量，且tt,与互相独立，r()和s()分别是tt,的相关函数与功率谱密度，试证：（1）tt,是平稳过程，且相关函数：（2）tt,的功率谱密度为：、7:(1),故为平稳过程（2）、已知随机过程(t)的相关函数为：2er，问该随机过程(t)是否均方连续？是否均方可微？8、解答：=0时，相关函数是连续的，故随机过程在任意时刻均方连续。因为二阶行列式在=0存在，故过程是均方可微的。